Question

已知函數f（x）=x³-3x+m只有一個零點，則實數m的取值范圍是（　　）

A．[-2，2]

B．（-∞，-2）∪（2，+∞）

C．（-2，2）

D．（-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

分析：利用導數求出函數的極大值和極小值，要使函數f（x）=x³-3x+m只有一個零點，則滿足極大值小于0或極小值大于0．

解答：解：∵f（x）=x³-3x+m，∴f'（x）=3x²-3，
由f'（x）＞0，得x＞1或x＜-1，此時函數單調遞增，
由f'（x）＜0，得-1＜x＜1，此時函數單調遞減．
即當x=-1時，函數f（x）取得極大值，
當x=1時，函數f（x）取得極小值，
要使函數f（x）=x³-3x+m只有一個零點，則滿足極大值小于0或極小值大于0，
即極大值f（-1）=-1+3+m=m+2＜0，解得m＜-2．
極小值f（1）=1-3+m=m-2＞0，解得m＞2．
綜上實數m的取值范圍：m＜-2或m＞2．
故選：B．

點評：本題主要考查三次函數的圖象和性質，利用導數求出函數的極值是解決本題的關鍵．