Question

(本小題滿分14分)
如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，在棱上．

（Ⅰ）當時，求證平面
（Ⅱ）當二面角的大小為時，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）在平行四邊形中，由，，，


易知，…………………2分
又平面，所以平面,
∴，
在直角三角形中，易得，
在直角三角形中，，，
又，∴，
可得
．
∴，……………………6分
又∵，∴平面．………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,，
可知為二面角的平面角，
，此時為的中點． ……………9分
過作,連結,則平面平面,
作,則平面,連結,
可得為直線與平面所成的角．
因為,,
所以．……………12分
在中，
直線與平面所成角的正弦值大小為．……………………14分
解法二：依題意易知，平面ACD．以A為坐標原點，AC、AD、SA分別為軸建立空間直角坐標系，則易得……………2分，
（Ⅰ）由有，……………4分
易得，從而平面ACE．……………………7分
(Ⅱ)由平面，二面角的平面角．
又，則 E為的中點，
即 ,………………9分
設平面的法向量為
則，令,得，…………11分
從而，…………13分
直線與平面所成角的正弦值大小為．……………………14分

略