Question

{a_n}是公比大于l的等比數列，S_n是{a_n}的前n項和．若S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構成等差數列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）令b_n=log₂a_2n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構成等差數列，組成方程組，求出首項與公比，即可求{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）求得數列{b_n}的通項，利用等差數列的求和公式求前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）設{a_n}的公比為q（q＞1），則

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2

…2分
即

a1+a2+a3=7 a1-6a2+a3=-7

，也即

a1(1+q+q2)=7 a1(1-6q+q2)=-7

，解得

a1=1 q=2

故數列{a_n}的通項為an=2n-1．…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a2n=22n-1，故bn=log222n-1=2n-1，…8分
故{b_n}是以1為首項，以2為公差的等差數列 …10分
∴Tn=n×1+

n(n-1)

2

×2=n2…12分．

點評：本題考查等比數列與等差數列的通項，考查數列的求和公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．