Question

直線l的方程為y=x+3，在l上任取一點P，若過點P且以雙曲線12x²-4y²=3的焦點為橢圓的焦點作橢圓，那么具有最短長軸的橢圓方程為______．

Answer 1

設橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1 a＞b＞0
c=1，a²-b²=c²=1
設P的坐標為：﹙m．m+3﹚P在橢圓上

m2

a2

+

(m+3)2

a2-1

=1，
﹙a²-1﹚m²+a²﹙m²+6m+9﹚=a²﹙a²-1﹚=﹙a²﹚²-a²
﹙2a²-1﹚m²+6a²m+10a²-﹙a²﹚²=0
△=﹙6a²﹚²-﹙8a²-4﹚﹙10a²-a⁴﹚≥0
36a⁴-80a⁴++40a²+8a⁶-4a⁴≥0
-48a²+40+8a⁴≥0，a⁴-6a²+5≥0
﹙a²-5﹚﹙a²-1﹚≥0
a²≤1或 a²≥5
∵c²=1，a²＞c²
∴a²≥5，長軸最短，即a²=5
b²=a²-1=4
所以：所求橢圓方程為：

x2

5

+

y2

4

=1．
故答案為：

x2

5

+

y2

4

=1．