Question

 

如圖，在直三棱柱中，，，是的中點．

（Ⅰ）求證：∥平面；   （Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）（理科）試問線段上是否存在點，使與成 角？若存在，確定點位置，若不存在，說明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）證明：連結，交于點，連結．

由 是直三棱柱，

得 四邊形為矩形，為的中點．

又為中點，所以為中位線，

所以 ∥，

因為 平面，平面，

所以 ∥平面．   ………………4分

（Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故兩兩垂直．

如圖建立空間直角坐標系．

設，則．

所以 ，

    設平面的法向量為，則有

所以  取，得．

易知平面的法向量為．

由二面角是銳角，得 ．     ………………8分

所以二面角的余弦值為．

（Ⅲ）解：假設存在滿足條件的點．

因為在線段上，，，故可設，其中．

所以 ，．

因為與成角，所以．

即，解得，舍去．

所以當點為線段中點時，與成角．        ………………12分