Question

已知函數f(x)=loga

1-mx

x-1

(a＞0，a≠1)的圖象關于原點對稱．
（1）求m的值；
（2）判斷函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，并根據定義證明．

Answer 1

分析：（1）由題意得，f（x）是奇函數，得f（-x）+f（x）=0，代入解析式再用比較系數法，可得m=-1；
（2）令對數的真數為t，利用單調性的定義可以證出t（x）在區間（1，+∞）上是減函數，再用復合函數單調性可得原函數在區間（1，+∞）上的單調性．

解答：解：（1）∵函數f(x)=loga

1-mx

x-1

(a＞0，a≠1)的圖象關于原點對稱
∴函數為奇函數，滿足f（-x）+f（x）=0，即loga

1+mx

-x-1

+loga

1-mx

x-1

=0對定義域內任意x都成立，
即loga(

1+mx

-x-1

•

1-mx

x-1

)=log_a1，

1-m2x2

1-x2

=1對定義域內任意x都成立，
∴m²=1，得m=±1，經檢驗m=1不符合題意舍去，所以m的值為-1；
（2）當0＜a＜1時，f（x）是（1，+∞）的增函數；當a＞1時，f（x）是（1，+∞）的減函數，證明如下
由（1）得f(x)=loga

1+x

x-1

，（x＞1）
設t=

1+x

x -1

，再令1＜x₁＜x₂，則t₁=

1+x1

x1-1

，t₂=

1+x2

x2-1

，
可得t₁-t₂=

1+x1

x1-1

-

1+x2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，有t₁＞t₂，
∴函數t=

1+x

x-1

是（1，+∞）上的減函數．
根據復合函數單調性法則，得：當0＜a＜1時，f（x）是（1，+∞）的增函數；
當a＞1時，f（x）是（1，+∞）的減函數．

點評：本題給出真數為分式對數型函數，并研究它的單調性與奇偶性，著重考查了基本初等函數的單調性和奇偶性等常見性質，屬于基礎題．