Question

設橢圓C：x²+2y²=2b²（常數b＞0）的左右焦點分別為F₁，F₂，M，N是直線l：x=2b上的兩個動點，．
（1）若，求b的值；
（2）求|MN|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設M（2b，y₁），N（2b，y₂），根據橢圓方程得到橢圓左、右焦點的坐標，從而得到向量的坐標，結合向量數量積的坐標公式和向量模的公式建立關于b、y₁、y₂的方程組，消去y₁、y₂，可得正數b的值．
（2）由（1）設的坐標，得|MN|=|y₁-y₂|，將其平方再用基本不等式，即可得到當且僅當y₁、y₂互為相反數且其中一個為時，|MN|²的最小值為12b²，由此得到|MN|的最小值．
解答：解：設M（2b，y₁），N（2b，y₂）…（1分）
∵橢圓方程為，∴橢圓的左右焦點分別為F₁（-b，0），F₂（b，0），
由此可得：，
∵，∴3b•b+y₁y₂=0，得①…（3分）
（1）由，得
…②，③…（5分）
由①、②、③三式，消去y₁，y₂，可得． …（8分）
（2）∵M（2b，y₁），N（2b，y₂），
∴，（12分）
當且僅當或時，|MN|取最小值． …（14分）
點評：本題以平面向量的坐標運算為載體，考查了橢圓的標準方程、簡單幾何性質和向量的數量積運算等知識，屬于基礎題．