Question

（2012•藍山縣模擬）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數列．
（1）若b=

3

，a=1，求角C的值；
（2）求sinA+sinC的最大值，并指出此時三角形的形狀．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，A，B，C成等差數列可求得B，再利用正弦定理可求得A，從而可求得C；
（2）利用兩角和與差的三角函數公式可求得sinA+sinC=

3

sin（A+

π

6

），利用正弦函數的單調性與最值即可求得答案．

解答：解：（1）∵A，B，C成等差數列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B=

π

3

…2分
由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

，
∴sinA=

1

2

，
∵a＜b，
∴A=

π

6

…4分
∴C=

π

2

，
∴c=2…6分
（2）由已知sinA+sinC
=sinA+sin（π-B-A）
=sinA+sin（

2π

3

-A）
=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA
=

3

sin（A+

π

6

）≤

3

…11分
當且僅當A=

π

3

時取等號，此時△ABC為等邊三角形．

點評：本題考查三角形的形狀判斷，著重考查正弦定理與兩角和與差的三角函數公式，考查正弦函數的單調性與最值，屬于中檔題．