Question

一個圓錐和一個半球有公共底面，如果圓錐的體積與半球的體積恰好相等，則圓錐軸截面頂角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設圓錐的半徑為R，高為H，母線與軸所成角為θ，求出圓錐的高，利用體積相等，求出2θ的余弦值即可．
解答：解：設圓錐的半徑為R，高為H，母線與軸所成角為θ，則圓錐的高 H=R•ctgθ
圓錐的體積 V₁=πR²•H=πR³ctgθ
半球的體積 V₂=πR³
∵V₁=V₂即：πR³ctgθ=πR³
∴ctgθ=2
∴cos2θ=
故選D．
點評：本題考查旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺），棱柱、棱錐、棱臺的體積，球的體積和表面積，考查計算能力，是基礎題．