Question

定義：F（x，y）=xy+lnx，x∈（0，+∞），y∈R，f（x）=（其中a≠0）．
（1）求 f（x） 的單調區間；
（2）若恒成立，試求實數a的取值范圍；
（3）記f′（x）為f（x）的導數，當a=1時，對任意的n∈N^*，在區間[1，f′（n）]上總存在k個正數a₁，a₂，a₃，…，a₄，使成立，試求k的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求f（x）的單調區間，可用導數法，先得到 f（x）的表達式，對其求導，令導數大于0求出增區間，進而得出減區間，由于未知數的系數帶著字母，故應對其符號進行討論，本題得分成兩類求單調區間．
（2）恒成立，試求實數a的取值范圍，此題先求出函數f（x）的最大值，令其小于-解不等式即可求出實數a的取值范圍，由（1）知，a＞0時，f（x）增區間為（0，+∞）；故此時不可能恒小于-，當求出a＜0時的最大值令其小于-即可解出，數a的取值范圍．
（3）當a=1時，f（x）=x²+lnx，，先研究的單調性知其在N^*上是增函數，故在區間[1，f′（n）]是增函數，欲求k的最小值，求出∈[1，f'（1）]時多少個k個正數的和大于2010即可．
解答：解：（1），則
①a＞0時，f'（x）＞0對x∈（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）上遞增
②當a＜0時，令f'（x）=0，則，（3分）
時，f'（x）＞0，f（x）為增函數；
時，f'（x）＜0，f（x）為減函數．
綜上，a＞0時，f（x）增區間為（0，+∞）；
a＜0時，f（x）增區間為，減區間為．（5分）
（2）由（1）知a＞0時，f（x）在（0，+∞）遞增，
且x=1時，，則，∴不恒成立，故a＜0．（7分）
又f（x）的極大值即f（x）最大值∵恒成立，
只須
∴，即∴-2＜a＜0（9分）
（3）當a=1時，f（x）=x²+lnx，
令g（x）=f'（x），則（11分）
當x∈[1，+∞）時，g'（x）＞0
∴在[1，+∞）上是增函數
當n∈N^*時，
∴f'（x）在[1，f'（n）]上是增函數（13分）
當n=1時，f'（1）=3∴當a_i∈[1，f'（1）]，i=1，2，3，…，k時，

則為使得k最小，需，i=1，2，3，…，k
則，又k∈N^*，所以k_min=318，
當n＞1時，f'（n）＞f'（1），∴當a_i∈[1，f'（n）]，i=1，2，3，…，k時，
則為使得k最小，
需，i=1，2，3，…，k
則，又又k∈N^*，所以k_min＜318
當k＜318時，對n=1時，不存在k個正數，使得，所以，k_min=318（16分）
點評：本題考查函數性質的綜合運用，是一個對邏輯推理能力要求較高的題目，尤其是第三問，需要正確分析、判斷、轉化．