Question

如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為F₁，F₂，其右準線l與x軸的交點為T，過橢圓的上頂點A作橢圓的右準線l的垂線，垂足為D，四邊形AF₁F₂D為平行四邊形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設線段F₂D與橢圓交于點M，是否存在實數λ，使？若存在，求出實數λ的值；若不存在，請說明理由；
（3）若B是直線l上一動點，且△AF₂B外接圓面積的最小值是4π，求橢圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AD=F₁F₂得到a與c的關系進而得到．
（2）得到a，b，c的關系且設出各點的坐標可得，直線F₂D的方程是x-y-c=0聯立直線與橢圓的方程得，進而得到．
（3）設圓心N的坐標為（n，n），圓過準線上一點B，則圓與準線有公共點所以可得n≤-3c或n≥c又
（πr²）_min=c²π=4π，則c²=4．
解答：解：（1）依題意：AD=F₁F₂，即，
所以離心率．
（2）由（Ⅰ）知：，b=c，
故A（0，c），D（2c，c），F₂（c，0），T（2c，0），
所以橢圓方程是，即x²+2y²=2c²，
直線F₂D的方程是x-y-c=0
由，{解得：，{（舍去）或，{
即，
，所以，
即存在λ=3使成立．
（3）由題可知圓心N在直線y=x上，設圓心N的坐標為（n，n），
因圓過準線上一點B，則圓與準線有公共點，
設圓心N到準線的距離為d，則NF₂≥d，即，
解得：n≤-3c或n≥c，
又
由題可知，（πr²）_min=c²π=4π，則c²=4，
故橢圓的方程為．
點評：本題的重點是依向量為載體考查直線與圓錐曲線的相交問題，即聯立直線橢圓的方程求解即可，還考查了焦點三角形面積的知識點，這些都是高考的重點內容．