Question

已知函數f（x）=ln（x+1）-x
（1）求f（x）的極值；
（2）若x＞-1，求證1-

1

x+1

≤ln(x+1)≤x；
（3）若函數g(x)=

f(x)+1+x

x

(x＞0)，當g(x)＞

k

x+1

恒成立時，求整數k的最大值．

Answer 1

分析：（1）確定函數定義域，利用導數判斷單調性，根據單調性的情況即可求得極值；
（2）由（1）知f（0）為最小值，即f（x）≥f（0），由此可證ln（x+1）≤x；令g（x）=ln（x+1）+

1

x+1

-1，利用導數可證明g（x）≥g（0），由此可證明ln（x+1）≥1-

1

x+1

．
（3）可以先利用特殊值x=1嘗試k的可能值，然后用導數的方法予以證明；

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為（-1，+∞）．
f′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
當-1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當x＞0時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
所以當x=0時f（x）取得極大值f（0）=0，無極小值；
（2）由（1）知，x=0為f（x）唯一的極大值點，也即最大值點，
所以當x＞-1時，f（x）≤f（0）=0，即ln（x+1）-x≤0，
所以ln（x+1）≤x；
令g（x）=ln（x+1）+

1

x+1

-1，則g′（x）=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

，
當-1＜x＜0時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；當x＞0時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，
所以x=0是g（x）唯一的極小值點，也即最小值點，
所以g（x）≥g（0）=0，即ln（x+1）+

1

x+1

-1≥0，
所以ln（x+1）≥1-

1

x+1

．
綜上，x＞-1時，1-

1

x+1

≤ln(x+1)≤x；
（3）g（x）=

ln(x+1)+1

x

，當x＞0時，g（x）＞

k

x+1

恒成立，令x=1有k＜2[1+ln2]．
又k為正整數．則k的最大值不大于3．
下面證明當k=3時，f（x）＞

k

x+1

（x＞0）恒成立，即證明x＞0時（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立．
令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x，
則g′（x）=ln（x+1）-1．
當x＞e-1時，g′（x）＞0；當0＜x＜e-1時，g′（x）＜0．
∴當x=e-1時，g（x）取得最小值g（e-1）=3-e＞0．
∴當x＞0時，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立．
因此正整數k的最大值為3．

點評：本題考查應用導數求函數的極值、最值及導數研究函數單調性，考查綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，綜合性強，難度大，其中特值探求k值是解決（2）問的“良方”．