Question

已知i，m，n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.

（1）證明nⁱ＜mⁱ；

（2）證明（1＋m）ⁿ＞（1＋n）^m.

Answer 1

答案：
解析：

證明：（1）方法一： 對于m＜n，∴k=1，2，…，i－1有 ∴即mi＞ni 方法二：ni=·m·（m－1）·（m－2）·…·（m－i+1） =mn·（mn－n）·（mn－2n）·…·［mn－n（i－1）］                                   ① 同理mi=mn·（mn－m）·（mn－2m）·…·［mn－m（i－1）］   ② ∵1＜i≤m＜n， ∴mn－n＜mn－m，mn－2n＜mn－2m，…， mn－n（i－1）＜mn－m（i－1）                                                                            ③ ∴聯(lián)系①、②、③可得ni＜miAin. （2）由二項(xiàng)式定理： 又∵ 而mi＞ni ∴ …… 又∵ ∴（1＋m）n＞（1＋n）m