Question

設各項為正數的等比數列{a_n}的前n項和為S_n，S₄=1，S₈=17．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在最小正整數m，使得當n＞m時，恒成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由S₄=1，S₈=17，得到公比q不等于1，所以根據等比數列的前n項和公式化簡兩等式，得到關于首項和公比的兩方程，兩方程相除即可消去首項，求出公比的值，把公比的值代入其中一個方程即可求出首項的值，由首項和公比的值寫出數列的通項公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的通項公式代入中，化簡后根據2011的范圍把2011夾在2的11次方和2的12次方之間，即可求出不存在n的最小正整數解，使n大于此時的最小正整數時不等式恒成立．
解答：解：（Ⅰ）設數列{a_n}的公比為q，由S₄=1，S₈=17知q≠1，
則=1，=17，相除得：
=17，解得q⁴=16，所以q=2或q=-2（舍去），
將q=2代入得a₁=，則數列{a_n}的通項公式為a_n=；
（Ⅱ）由a_n=＜，得2^n-1＜2011，
而2¹⁰＜2011＜2¹¹，所以n-1≤10，即n≤11，
因此，不存在最小的正整數，使得n≥m時，a_n＞恒成立．
點評：此題考查學生靈活運用等比數列的前n項和公式及通項公式化簡求值，掌握不等式恒成立時滿足的條件，是一道中檔題．