Question

已知函數f（x）=log₄（ax²+2x+3）．
（1）若f（x）定義域為R，求a的取值范圍；
（2）若f （1）=1，求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的定義域為R，可得ax²+2x+3＞0對任意x∈R恒成立，結合函數的圖象可得不等式，即可求a的取值范圍；
（2）由f （1）=1，求出a的值，從而可得函數解析式，考慮內、外函數的單調性，即可求f（x）的單調區間．

解答：解：（1）因為f（x）的定義域為R，所以ax²+2x+3＞0對任意x∈R恒成立，
顯然a=0時不合題意，從而必有

a＞0 △＜0

，即

a＞0 4-12a＜0

，解得a＞

1

3

．
即a的取值范圍是（

1

3

，+∞）．
（2）因為f（1）=1，所以log₄（a+5）=1，因此a+5=4，所以a=-1，這時f（x）=log₄（-x²+2x+3）．
由-x²+2x+3＞0得-1＜x＜3，即函數定義域為（-1，3）．
令g（x）=-x²+2x+3．
則g（x）在（-1，1）上單調遞增，在（1，3）上單調遞減，
又y=log₄x在（0，+∞）上單調遞增，
所以f（x）的單調遞增區間是（-1，1），單調遞減區間是（1，3）

點評：本題考查函數單調定義域，考查復合函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，確定內、外函數的單調性是關鍵．