Question

已知函數f(x)＝(x≠－1)，設數列{a_n}滿足a₁＝1，a_n+1＝f(a_n)，數列{b_n}滿足b_n＝|a_n－3|，S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n(n∈N₊)

(1)用數學歸納法證明b_n≤；

(2)求證：S_n＜．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)當x≥0時，f(x)＝1＋≥1， 　　因為a1＝1，所以an≥1(n∈N+) 　　下面用數學歸納法證明不等式bn≤： 　　①當n＝1時，b1＝－1，不等式成立． 　　②假設當n＝k時，不等式成立，即bn≤， 　　那么bk+1＝|ak+1－|＝． 　　所以，當n＝k＋1時，不等式也成立． 　　由①②可知不等式對任意n∈N+都成立． 　　(2)由(1)知bn≤， 　　所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn≤(－1)＋＝(－1)×＜(－1)×． 　　故對任意n∈N+，Sn＜．