Question

拋物線C：y=

1

4

x2的焦點為F．
（1）已知拋物線C上點A的橫坐標為1，求在點A處拋物線C的切線方程；
（2）斜率為1的直線l過點F，與拋物線C相交于M、N兩點，求線段MN的長．

Answer 1

分析：（1）先求點A的坐標，進而可求在點A處拋物線C的切線斜率，由此可得切線方程；
（2）求出過點F、斜率為1的直線l方程，與拋物線方程聯立，求得交點坐標，進而可求線段MN的長．

解答：解：（1）當x=1時，y=

1

4

×12=

1

4

，即A(1，

1

4

)．（1分）
∵y′=

1

2

x，（3分）     
∴所求切線的斜率k=y'|_x=1=

1

2

×1=

1

2

．（5分）
∴所求切線方程為y-

1

4

=

1

2

×(x-1)，
即2x-4y-1=0．（6分）
（2）拋物線C：x²=4y，焦點F（0，1）（7分）
∵斜率為1的直線l過點F，
∴直線l的方程為y=x+1． （8分）
聯立

x2=4y y=x+1

，
∴x²-4x-4=0
∴x=2±2

2

∴

x=2+2 2 y=3+2 2

，或

x=2-2 2 y=3-2 2

．（10分）
∴|MN|=

[(2+2 2 )-(2-2 2 )]2+[(3+2 2 )-(3-2 2 )]2

=8．
所以，線段MN的長為8． （12分）

點評：本題以拋物線方程為載體，考查切線方程，考查直線與拋物線的位置關系，解題的關鍵是聯立方程，求得交點坐標．