Question

已知a＞0，a≠1，設p：函數y=log_a（x+1）在（0，+∞）上單調遞減；q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點．如果p且q為假命題，p或q為真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據對數函數的單調性我們易判斷出命題p為真命題時參數a的取值范圍，及命題p為假命題時參數a的取值范圍；根據二次函數零點個數的確定方法，我們易判斷出命題q為真命題時參數a的取值范圍，及命題q為假命題時參數a的取值范圍；由p且q為假命題，p或q為真命題，我們易得到p與q一真一假，分類討論，分別構造關于x的不等式組，解不等式組即可得到答案．

解答：解：若p為真，則0＜a＜1．若q為真，
則△＞0即（2a-3）²-4＞0解得a＜

1

2

或a＞

5

2

．
∵p且q為假，p或q為真，
∴p與q中有且只有一個為真命題．（a＞0且a≠1）
若p真q假，則

0＜a＜1 1 2 ≤a＜1或1＜a≤ 5 2

∴

1

2

≤a＜1
若p假q真，則

a＞1 0＜a＜ 1 2 或a＞ 5 2

∴a＞

5

2

綜上所述，a的取值范圍為：[

1

2

，1）∪（

5

2

，+∞）．

點評：本題考查的知識點是復合命題的真假，二次函數的性質，對數函數的性質，其中根據二次函數及對數函數的性質判斷兩個命題為真或為假時參數a的取值范圍，是解答本題的關鍵．