Question

已知拋物線的頂點在坐標原點O，焦點F在x正半軸上，傾斜角為銳角的直線l過F點．設直線l與拋物線交于A、B兩點，與拋物線的準線交于M點，=λ，其中λ＞0
（I）若λ=1，求直線l的斜率；
（II）若點A、B在x軸上的射影分別為A₁、B₁，且||，||，2||成等差數列，求λ的值．

Answer 1

解：依題意設拋物線方程為y²=2px（p＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的斜率為k，k＞0，M的縱坐標為y₀，
則F（，0），準線方程為x=-，直線l的方程為y=k（x-），M（-，y₀），y₂＞0
因為=λ，所以（p，-y₀）=λ（x₂-，y₀），故p=λ（x₂-）
（I）若λ=1，由p=λ（x₂-），y₂²=2px₂，y₂＞0，得x₂=，y₂=p，
故點B的坐標為（）
所以直線l的斜率k== （5分）
（II）聯立y²=2px，y=k（x-），消去y，可得k²x²-（k²p+2p）x+=0，則x₁x₂=
又 （7分）
故 （9分）
因為||，||，2||成等差數列，
所以||+2||=2||，
故（x₂-）+2（-x₁）=p，即x₂-2x₁=
將，代入上式得
因為λ＞0，所以λ=2． （12分）
分析：（I）先確定p=λ（x₂-），進而求出B的坐標，即可求直線l的斜率；
（II）直線方程代入拋物線方程，求得A₁、B₁的橫坐標，根據||，||，2||成等差數列，可得||+2||=2||，從而可得x₂-2x₁=，由此可求λ的值．
點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查等差數列的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．