Question

已知函數f（x）=sin2x-2cos²x（x∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調遞增區間，并寫出對稱軸方程．

Answer 1

分析：（1）三角函數的恒等變換化簡f（x）的解析式為

2

sin(2x-

π

4

)-1，由此求得函數的周期．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，求得x的范圍，即可求得f（x）的單調遞增區間．由2x-

π

4

=kπ+

π

2

，求得對稱軸方程．

解答：解：（1）f（x）=sin2x-2cos²=sin2x-cos2x-1，--------（2分）
則f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)-1，----------（4分）
所以，函數f（x）的最小正周期為π．------（6分）
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

．------（8分）
所以，函數f（x）的單調遞增區間為：[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

] (k∈Z)．-------（9分）
從2x-

π

4

=kπ+

π

2

，得x=

kπ

2

+

3π

8

，--------（11分）
故對稱軸方程為：x=

kπ

2

+

3π

8

(k∈Z)．--------（12分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的對稱性、周期性和求法，屬于中檔題．