Question

已知函數f（x）=x²，g（x）=ax+3（a∈R）．
（1）記函數F（x）=f（x）-g（x），
（i）判斷函數F（x）的零點個數；
（ii）若函數|F（x）|在[0，1]上是減函數，求實數a的取值范圍．
（2）設G(x)=

f(x)，x＜1 g(x)，x≥1

．若對于函數y=G（x）圖象上異于原點O的任意一點P，在函數y=G（x）圖象上總存在另一點Q，使得

OP

•

OQ

＜0，且PQ的中點在y軸上，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數F（x）=f（x）-g（x）求出表達式，
（i）利用判別式的符號，直接判斷函數F（x）的零點個數；
（ii）通過函數|F（x）|在[0，1]上是減函數，化簡函數的表達式，利用函數的對稱軸，以及1處的函數值，列出不等式組，求實數a的取值范圍．
（2）通過G(x)=

f(x)，x＜1 g(x)，x≥1

．求出函數y=G（x）的表達式，設出點P的坐標、Q的坐標，通過

OP

•

OQ

＜0，且PQ的中點在y軸上，求出a的取值范圍．

解答：解：（1）（i）F（x）=x²-ax-3
∵

△=a2+12＞0，

∴函數F（x）有2個零點． …（4分）
（ii） |F(x)|=|x2-ax-3|=

x2-ax-3 ，F(x) ≥0 -x2+ax+3 ，F(x)＜0

，當a≤0時，圖象為：
當a＞0時，圖象為：
由題意

a≤0 F(1)≤0

．解得-2≤a≤0…（8分）
（2）G(x)=

x2 ，x≤1 ax+3 ，x＞1

，
由題意易知P，Q兩點在y軸的兩側，不妨設P點坐標在y軸的左側，設P(x1，

x

2 1

)，
當-1＜x₁＜0，則Q(-x1，

x

2 1

)，

OP

•

OQ

=

x

2 1

(

x

2 1

-1)＜0恒成立，…（12分）
當x₁≤-1，則設點Q（-x₁，-ax₁+3），

OP

•

OQ

=-

x

2 1

+

x

2 1

(-ax1+3)＜0恒成立，
∴ax₁＞2恒成立，∵x₁≤-1，
∴a＜

2

x1

恒成立，只要∴a＜(

2

x1

)min，…（14分）
∵x₁≤-1，∴(

2

x1

)min=-2，
∴a＜-2．             …（16分）

點評：本題考查函數的零點，函數與方程的關系的應用，恒成立問題的應用，平面向量的數量積的應用，考查分析問題解決問題的能力．