Question

定義在R上的單調函數f(x)滿足f(3)＝log₂3且對任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求證f(x)為奇函數；

(2)若f(k·3^x)＋f(3^x－9^x－2)＜0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)，① 　　令x＝y＝0，代入①式，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0． 　　令y＝－x，代入①式，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0， 　　則有0＝f(x)＋f(－x)．即f(－x)＝－f(x)對任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數． 　　 　　說明：問題(2)的上述解法是根據函數的性質．f(x)是奇函數且在x∈R上是增函數，把問題轉化成二次函數f(t)＝t2－(1＋k)t＋2對于任意t＞0恒成立．對二次函數f(t)進行研究求解．本題還有更簡捷的解法： 　　分離系數由k·3＜－3＋9＋2 　　得