Question

若函數f（x）=

1

2

x+cosx在區間（0，π）的一個子區間（k，k+

π

3

）內不是單調函數，則實數k的取值范圍是（　　）

• A．[

  π

  6

  ，

  π

  2

  ]
• B．[0，

  π

  6

  ]∪[

  π

  2

  ，

  2π

  3

  ]
• C．[0，

  π

  6

  ）∪（

  π

  2

  ，

  2π

  3

  ]
• D．（0，

  π

  6

  ）∪（

  π

  2

  ，π）

Answer 1

分析：f（x）在（k，k+

π

3

）內不單調，等價于f′（x）=0在（k，k+

π

3

）內有實數解，由此可得到不等式組，解出即可．

解答：解：令f′（x）=

1

2

-sinx=0，得x=

π

6

或

5π

6

，
因為f（x）在（k，k+

π

3

）內不單調，
所以f′（x）=0在（k，k+

π

3

）內有實數解，
則

k≥0 k+ π 3 ≤π k＜ π 6 ＜k+ π 3

或

k≥0 k+ π 3 ≤π k＜ 5π 6 ＜k+ π 3

，解得0≤k＜

π

6

或

π

2

＜k≤

2π

3

，
故選C．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查轉化思想，屬中檔題．