Question

在直角坐標系xOy中，曲線M的參數方程為

x=sinθ+cosθ y=sin2θ

（θ為參數），若以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線N的極坐標方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

t（其中t為常數）
（1）求曲線M和N的直角坐標方程；
（2）若曲線N與曲線M只有一個公共點，求t的取值范圍．

Answer 1

考點：拋物線的參數方程,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：坐標系和參數方程

分析：（1）把參數方程利用同角三角函數的基本關系化為直角坐標方程，根據極坐標和直角坐標的互化公式把極坐標方程化為直角坐標方程．
（2）當直線N過點A（

2

，1）時滿足要求，此時t=

2

+1．當直線N過點B（-

2

，1）時，此時t=-

2

+1．當直線和拋物線相切時，聯立

x+y=t y=x2-1

得x²+x-1-t=0，由△=0求得t=-

5

4

．數形結合求得t的取值范圍．

解答：解：（1）x²=（sin θ+cos θ）²=1+sin 2θ，
所以曲線M可化為y=x²-1，x∈[-

2

，

2

]，表示一段拋物線．
由ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

t得

2

2

ρsin θ+

2

2

ρcos θ=

2

2

t，
∴ρsin θ+ρcos θ=t，
所以曲線N可化為x+y=t，表示一條直線．
（2）若曲線M，N只有一個公共點，
則當直線N過點A（

2

，1）時滿足要求，此時t=

2

+1，
并且向左下方平行運動直到過點（-

2

，1）之前，
總是保持只有一個公共點．
當直線N過點B（-

2

，1）時，此時t=-

2

+1，所以-

2

+1＜t≤

2

+1滿足要求．
再接著從過點（-

2

，1）開始向左下方平行運動直到相切之前總有兩個公共點，
相切時仍然只有一個公共點．
聯立

x+y=t y=x2-1

得x²+x-1-t=0，由△=1+4（1+t）=0，解得t=-

5

4

，
綜上可求得t的取值范圍是-

2

+1＜t≤

2

+1，或t=-

5

4

．

點評：本題主要考查把極坐標方程、參數方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，直線和圓的位置關系，屬于基礎題．