Question

已知函數是奇函數.

（Ⅰ）求a,c的值；

（Ⅱ）求函數f(x)的單調區間.

Answer 1

解：（Ⅰ）因為函數g(x)=f(x)-2為奇函數，

所以，對任意的x∈R, g(-x)=-g(x),即f(-x)- 2=-f(x)+2.

又f(x)=x³+ax²+3bx+c,

所以-x³+ax²-3bx+c-2=-x³-ax²-3bx-c+2.

所以

解得a=0，c＝2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x³+3bx+2.

所以f′(x)=3x²+3b(b≠0).

當b＜0時，由f′(x)=0得x=±

x變化時，f′(x)的變化情況如下表：

x	(-∞,- )	-	(-,)		(,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+

所以，當b＜0時，函數f (x)在（-∞，-）上單調遞增，

在（-，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增.

當b＞0時，f′(x)＞0，所以函數f (x)在（-∞，+∞）上單調遞增.