Question

已知三棱錐A-PBC，∠ACB=90°，AB=20，BC=4，PA⊥PC，D為AB邊中點且△PDB為正三角形．
（1）求證：BC⊥平面PAC； 
（2）求三棱錐D-PBC的體積．

Answer 1

分析：（1）由D為AB邊中點且△PDB為正三角形可得AP⊥PB，結合PA⊥PC及線面垂直的判定定理可得PA⊥平面PBC，進而PA⊥BC，由∠ACB=90°結合線面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC； 
（2）由AB=20，BC=4，D為AB邊中點結合（1）中結論，求出三棱錐D-PBC的底面積和高，代入棱錐體積公式，可得答案．

解答：證明：（1）∵D為AB邊中點且△PDB為正三角形
∴AP⊥PB
又∵PA⊥PC，PB∩PC=B，PB，PC?平面PBC
∴PA⊥平面PBC
又∵BC?平面PBC
∴PA⊥BC
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC
又∵PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC
∴BC⊥平面PAC； 
解：（2）在Rt△PAB中，AB=20，PB=

1

2

AB=10
∴PA=

AB2-PB2

=10

3

∵D為AB邊中點
∴三棱錐D-PBC的高h=

1

2

PA=5

3

底面PBC中，BC=4，
∴PC=

PB2-BC2

=2

21

故S_△PBC=

1

2

•PC•BC=4

21

故三棱錐D-PBC的體積V=

1

3

•S_△PBC•h=20

7

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，棱錐的體積，熟練掌握空間線線垂直與線面垂直之間的轉化關系是解答的關鍵．