Question

已知函數f(x)=2sinx[1-cos(

π

2

+x)]+2cos2x-1
（1）設ω＞0為常數，若函數y=f（ωx）在區間[-

π

2

，

2

3

π]上是增函數，求ω的取值范圍；
（2）設集合A={x|

π

6

≤x≤

2

3

π}，B=x||f（x）-m|＜2，若A∪B=B，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的平方關系及二倍角公式化簡三角函數，再由函數y=f（ωx）在區間[-

π

2

，

2

3

π]上是增函數列出關于ω的不等關系，解這即得ω的取值范圍；
（2）利用A∪B=B得出集合A是集合B的子集，再化簡集合B，最后轉化為不等式

m＜f(x)+2 m＞f(x)-2

恒成立問題，從而實數m的取值范圍即可．

解答：解：f（x）=2sinx+2sin²x+2cos²x-1=2sinx+1
（1）y=f（ωx）=2sinωx+1在[-

π

2

，

2

3

π]上增函數
∵-

π

2

ω≤ωx≤

2

3

πω
∴

- π 2 ω≥- π 2 2 3 πω≤ π 2

ω≤1 ω≤ 3 4

∴0＜ω≤

3

4

（2）-2＜f(x)-m＜2

m＜f(x)+2 m＞f(x)-2

又A∪B=B，∴A⊆B
∴對于任意x∈[

π

6

，

2

3

π]，不等式

m＜f(x)+2 m＞f(x)-2

恒成立
而f(x)=2sinx+1，x∈[

π

6

，

2

3

π]且最大值f（x）_max=3，最小值f（x）_min=2
∴

m＜4 m＞1

∴1＜m＜4
實數m的取值范圍1＜m＜4

點評：本小題主要考查函數二倍角的余弦、三角函數中的恒等變換應用、并集及其運算、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．