Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+Φ）（A＞0，ω＞0，-

π

2

＜Φ＜

π

2

）的圖象與x軸交點為(-

π

6

，0)，相鄰最高點坐標為(

π

12

，1)．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求函數f（x）在[0，π]上的最值．

Answer 1

分析：（1）根據函數的最大值得到A=1，由相鄰的零點與最大值的距離得到周期，進而得到ω=2，最后利用當x=

π

12

時，函數有最大值為1，求出φ=

π

3

，得出函數f（x）的表達式；
（2）根據x的范圍得出2x+

π

3

的范圍，結合正弦函數的圖象與性質，不難得出函數f（x）在[0，π]上的最大最小值．

解答：解：（1）∵高點坐標為(

π

12

，1)，∴正數A=1
∵函數圖象與x軸交點為(-

π

6

，0)，相鄰最高點坐標為(

π

12

，1)．
∴函數周期為T=4（

π

12

+

π

6

）=π，可得ω=

2π

T

=2，函數表達式為f（x）=sin（2x+Φ）
∵當x=

π

12

時，函數有最大值為1，
∴2•

π

12

+φ=

π

2

+2kπ，（k∈Z），結合-

π

2

＜Φ＜

π

2

，取k=0得φ=

π

3

因此，函數f（x）的表達式是f（x）=sin（2x+

π

3

）．
（2）∵x∈[0，π]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

3

]
∴當x=

π

12

時，函數f（x）=sin（2×

π

12

+

π

3

）=sin

π

2

=1，達到最大值1；
當x=

7π

12

時，函數f（x）=sin（2×

7π

12

+

π

3

）sin

3π

2

=-1，達到最小值-1．
即函數f（x）在[0，π]上的最大值是f（

π

12

）=1；最小值是f（

7π

12

）=1．

點評：本題給出特殊的三角函數，在已知其一個零點和最大值點情況下求函數解析式，并求它在閉區間上的最值，著重考查了三角函數的圖象與性質和由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式等知識，屬于基礎題．