Question

若S_n是公差不為0的等差數列{a_n}的前n項和，且S₁，S₂，S₄成等比數列．
（1）求等比數列S₁，S₂，S₄的公比； 
（2）若S₂=4，求{a_n}的通項公式；
（3）設bn=

3

anan+1

，T_n是數列{b_n}的前n項和，求使得Tn＜

m

20

對所有n∈N^*都成立的最小正整數m．

Answer 1

分析：（1）利用數列{a_n}為等差數列，S₁，S₂，S₄成等比數列．可求出首項與公差的關系，即可求得公比；
（2）由S₂=4，結合（1）的結論，即可求{a_n}的通項公式；
（3）利用裂項法求數列{b_n}的前n項和，確定T_n＜

3

2

，從而可得不等式，即可求得使得Tn＜

m

20

對所有n∈N^*都成立的最小正整數m．

解答：解：（1）∵數列{a_n}為等差數列，∴S₁=a₁，S₂=2a₁+d，S₄=4a₁+6d，
∵S₁，S₂，S₄成等比數列，
∴S₁•S₄=S₂²，
∴a1(4a1+6d)=(2a1+d)2，∴2a1d=d2
∵公差d不等于0，∴d=2a₁
∴q=

S2

S1

=

4a1

a1

=4；
（2）∵S₂=4，∴2a₁+d=4，又d=2a₁，
∴a₁=1，d=2，∴a_n=2n-1． 
（3）∵bn=

3

(2n-1)(2n+1)

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

3

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

3

2

(1-

1

2n+1

)＜

3

2

要使Tn＜

m

20

對所有n∈N^*恒成立，
∴

m

20

≥

3

2

，∴m≥30，
∵m∈N^*，
∴m的最小值為30．

點評：本題考查等差數列與等比數列的結合，考查數列的通項與求和，考查恒成立問題，正確求和是關鍵．