Question

已知圓與直線l：x+2y-4=0相交于A，B兩點．
（Ⅰ）求弦AB的長；
（Ⅱ）若圓C₂經過E（1，-3），F（0，4），且圓C₂與圓C₁的公共弦平行于直線2x+y+1=0，求圓C₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出圓心到直線l的距離，再利用勾股定理即可求出弦AB的長；
（II）設圓C₂的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，與圓方程相減，可得公共弦所在的直線方程為：（D+2）x+（E+2）y+F=0，利用圓C₂與圓C₁的公共弦平行于直線2x+y+1=0，可得D=2E+6，再根據圓C₂經過E（1，-3），F（0，4），可構建方程組，從而可求圓C₂的方程．
解答：解：（Ⅰ）圓心到直線l的距離 ，（2分）
所以．                     （4分）
（II）設圓C₂的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵圓
∴兩方程相減，可得公共弦所在的直線方程為：（D+2）x+（E+2）y+F=0，
∵圓C₂與圓C₁的公共弦平行于直線2x+y+1=0，
∴，即D=2E+6．                        （6分）
又因為圓C₂經過E（1，-3），F（0，4），
所以
所以圓C₂的方程為x²+y²+6x-16=0．（8分）
點評：本題考查圓中的弦長問題，考查兩圓的公共弦，考查圓的方程，解題的關鍵是利用圓的特征，確定公共弦的方程．