Question

【題目】已知關于x的函數y= （t∈R）的定義域為D，存在區間[a，b]D，f（x）的值域也是[a，b]．當t變化時，b﹣a的最大值= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：關于x的函數y=f（x）= =（1﹣t）﹣ 的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），
且函數在（﹣∞，0）、（0，+∞）上都是增函數．
故有a=f（a），且b=f（b），即 a= ，b= ．
即 a2+（t﹣1）a+t2=0，且 b2+（t﹣1）b+t2=0，
故a、b是方程x2+（t﹣1）x+t2=0的兩個同號的實數根．
由判別式大于0，容易求得t∈（﹣1， ）．
而當t=0時，函數為y=1，不滿足條件，故t∈（﹣1， ）且t≠0．
由韋達定理可得b﹣a= = ，故當t=﹣ 時，b﹣a取得最大值為 ，
故答案為： ．
由函數的單調性可得a=f（a），且b=f（b），故a、b是方程x2+（t﹣1）x+t2=0的兩個同號的實數根．由判別式大于0，容易求得t∈（﹣1， ）．由韋達定理可得b﹣a= = ，利用二次函數的性質求得b﹣a的最大值．