Question

設，，其中a為非零實常數．
（1）若，，求x；
（2）試討論函數g（x）在R上的奇偶性與單調性，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據二倍角公式以及輔助角公式對函數進行整理，再結合特殊角的三角函數值即可得到結論．
（2）先求出函數g（x）的解析式，再通過討論a得到其奇偶性，并通過舉例得到其單調性即可．
解答：解：（1）由已知=，（2分）
由得：，（1分）
∵，（1分）
∴，．         （2分）
（2）由已知，得，（2分）
①∵當時，對于任意的x∈R，總有g（-x）=-x-sin（-2x）=-（x-sin2x）=-g（x），
∴g（x）是奇函數．（2分）（沒有過程扣1分）
②當時，∵或g（π）≠±g（-π）等
所以，g（x）既不是奇函數，又不是偶函數．（2分）（沒有過程扣1分）
∵，故g（x）不是單調遞增函數，（1分）
又∵，故g（x）不是單調遞減函數．（1分）
∴g（x）既不是單調遞減函數，也不是單調遞增函數．             （沒舉反例扣1分）
注：用求導的方法做對給滿分
令g′（x）=1-2cos2x=0⇒，
易得：g（x）在區間上遞增，在區間上遞減．
點評：本題主要考查三角函數的單調性以及奇偶性．解決這類問題的關鍵在于對公式的熟練理解以及靈活運用．