Question

已知向量

a

=(2cos2x，

3)

，

b

=(1，sin2x)，函數f(x)=

a

．

b

，g(x)=

b

2．
（1）求函數g（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（c）=3，c=1，ab=2

3

，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）根據向量的數量積表示出函數g（x）的解析式，然后根據余弦函數的二倍角公式降冪化為y=Acos（wx+ρ）的形式，根據T=

2π

w

可得答案．
（2）先根據向量的數量積表示出函數f（x）的解析式，然后化簡為y=Asin（wx+ρ）的形式，將C代入函數f（x），根據f（c）=3求出C的值，再由余弦定理可求出a，b的值．

解答：解：（Ⅰ）g（x）=

b

2=1+sin²2x=1+

1-cos4x

2

=-

1

2

cos4x+

3

2

∴函數g（x）的最小周期T=

2π

4

=

π

2

（Ⅱ）f（x）=

a

•

b

=(2cos2x，

3

)•(1，sin2x)=2cos2x+

3

sin2x
=cos2x+1+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1
f（C）=2sin（2C+

π

6

）+1=3∴sin（2C+

π

6

）=1
∵C是三角形內角∴2C+

π

6

∈(

π

6

，

13π

6

)，∴2C+

π

6

=

π

2

即：C=

π

6

∴cosC=

b2+a2-c2

2ab

=

3

2

即：a²+b²=7
將ab=2

3

可得：a2+

12

a2

=7解之得：a²=3或4
∴a=

3

或2∴b=2或

3

，∵a＞b，∴a=2 b=

3

點評：本題主要考查三角函數最小正周期的求法和余弦定理的應用．屬基礎題．