Question

（1）解不等式：|x-1|+|x+1|≤4；
（2）已知a，b，c∈R⁺，且abc=1，求證：

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

≥a+b+c．

Answer 1

分析：（1）分x＜-1、-1≤x≤1、x＞1三種情況，分別去掉絕對值，求出不等式的解集，再把解集取并集，即得所求．
（2）根據abc=1，利用基本不等式可得

1

a2

+

1

b2

≥2

1

ab

=2c，同理可得

1

b2

+

1

c2

≥2•

1

bc

=2a，

1

c2

+

1

a2

≥2•

1

ca

=2b．把這幾個不等式相加，再兩邊同時除以2，即得所證．

解答：（1）解：當x＜-1時，原不等式化為：x≥-2，∴-2≤x＜-1．
當-1≤x≤1時，原不等式化為2≤4，恒成立，∴-1≤x≤1．
當x＞1時，原不等式化為：x≤2，∴1＜x≤2．
綜上，不等式解集為[-2，2]．
（2）證明：∵abc=1，∴

1

a2

+

1

b2

≥2

1

ab

=2c，
同理可得

1

b2

+

1

c2

≥2•

1

bc

=2a，

1

c2

+

1

a2

≥2•

1

ca

=2b．
∴2(

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

)≥2(a+b+c)，
∴

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

≥a+b+c．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，用綜合法、基本不等式證明不等式，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．