Question

已知二次函數f(x)=ax²+bx+c滿足條件：

①0，1是f(x)=0的兩個零點；②f(x)的最小值為.

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)設數列{a_n}的前n項積為T_n,且T_n=λ^f(n)(λ≠0,n∈N^*),求數列{a_n}的前n項和S_n；

(3)在(2)的條件下，當λ=時,若5f(a_n)是b_n與a_n的等差中項，試問數列{b_n}中第幾項的值最小？并求出這個最小值.

Answer 1

解:(1)由題意知：

解得故f(x)=x²x.

(2)∵T_n=a₁a₂…a_n=，當n≥2時,T_n-1=a₁·a₂·…·a_n-1=，

∴a_n==λ^n-1(n≥2).

又a₁=T₁=1滿足上式,∴a_n=λ^n-1(n∈N^*).

當λ=1時,S_n=n,當λ≠1且λ≠0時,數列{a_n}是等比數列,∴S_n=.

故數列{a_n}的前n項和S_n=

(3)若5f(a_n)是b_n與a_n的等差中項,則2×5f(a_n)=b_n+a_n,從而10(a_n²a_n)=b_n+a_n,

得b_n=5a_n²-6a_n=5(a_n)².

∵a_n=()^n-1(n∈N^*)是關于n的減函數,

∴當a_n≥,即n≤3(n∈N^*)時,b_n隨n的增大而減小,此時最小值為b₃;

當a_n＜,即n≥4(n∈N^*)時,b_n隨n的增大而增大,此時最小值為b₄.

又|a₃|＜|a₄|,∴b₃＜b₄,即數列{b_n}中b₃最小,

且b₃=5［()²］²-6()²=.