Question

已知a∈R，函數，g（x）=（lnx-1）e^x+x（其中e為自然對數的底數）．
（1）討論函數f（x）在（0，e]上的單調性；
（2）是否存在實數x₀∈（0，+∞），使曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，請說明理由．
（3）若實數m，n滿足m＞0，n＞0，求證：nⁿe^m≥mⁿeⁿ．

Answer 1

解：（1）∵，∴x∈（0，+∞），=．
若a≤0，，則f′（x）＞0，f（x）在（0，e]上單調遞增；
若0＜a＜e，當x∈（0，a）時，f′（x）＜0，函數f（x）在區間（0，a）上單調遞減，
當x∈（a，e]時，f′（x）＞0，函數f（x）在區間（a，e]上單調遞增，
若a≥e，則f′（x）≤0，函數f（x）在區間（0，e]上單調遞減．
（2）解：∵g（x）=（lnx-1）e^x+x，x∈（0，+∞），
g′（x）=（lnx-1）′e^x+（lnx-1）（e^x）′+1
=
=（）e^x+1，
由（1）易知，當a=1時，f（x）=在（0，+∞）上的最小值：f（x）_min=f（1）=0，
即x₀∈（0，+∞）時，．
又，∴1＞0．
曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直等價于方程g′（0）=0有實數解．
而g′（x₀）＞0，即方程g′（x₀）=0無實數解．故不存在．
（3）證明：由（2）知，
令x=，得，
∴ln，
∴，
∴，
∴nⁿe^m≥mⁿeⁿ．
分析：（1）由，知=．由此進行分類討論，能得到函數f（x）在（0，e]上的單調性．
（2）由g（x）=（lnx-1）e^x+x，x∈（0，+∞），g′（x）=（lnx-1）′e^x+（lnx-1）（e^x）′+1=（）e^x+1，由（1）知，當a=1時，f（x）=在（0，+∞）上的最小值：f（x）_min=f（1）=0，由此能導出不存在實數x₀∈（0，+∞），使曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直．
（3）由（2）知，令x=，得，由此能夠證明nⁿe^m≥mⁿeⁿ．
點評：本題考查函數單調性的判斷，考查實數是否存在的判斷，考查不等式的證明，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．