Question

如圖，設計一個小型正四棱錐形冷水塔，其中頂點P在底面的射影為正方形ABCD的中心O，返水口E為BC的中點，冷水塔的四條鋼梁（側棱）設計長度均為10米．冷水塔的側面選用鋼板，基于安全與冷凝速度的考量，要求鋼梁（側棱）與底面的夾角α落在區間[

π

6

，

π

3

]內，如何設計可得側面鋼板用料最省且符合施工要求？

Answer 1

分析：根據題意，算出底面邊長等于10

2

cosα，從而在Rt△P0E中算出PE=5

2

•

1+sin2α

，可得側面積關于α的函數關系式：S_側面=200

1-sin4α

，由sinα∈[

1

2

，

3

2

]即可算出當α=

π

3

時，側面鋼板用料最省．由此可得相應的底面邊長和高，得到本題答案．

解答：解：依題意，可得
鋼梁（側棱）與底面的夾角為∠PBO=α．
∴OP=10sinα，-------------------------（2分）
則OE=

2

2

OB=5

2

cosα，
可得BC=10

2

cosα---------（4分）
在Rt△POE中，
PE=

OP2+OE2

=5

2

•

1+sin2α

，---（6分）
∴S側面=4×(

1

2

PE•BC)=200cosα

1+sin2α

-------（8分）
=200

1-sin4α

----------------------------（10分）
又∵α∈[

π

6

，

π

3

]，可得

1

2

≤sinα≤

3

2

，----------（11分）
∴當且僅當sinα=

3

2

時，側面積取得最小值，等于200

1-( 3 2 )4

=50

7

---------------（13分）
此時的cosα=

1

2

，AB=5

2

，OP=5

3

．
即冷水塔的底面邊長應設計為AB=5

2

米，高OP=5

3

米時，側面鋼板用料最省--------（14分）

點評：本題給出實際應用問題，求側面積的最小值．著重考查了正棱錐的性質、直線與平面所成角、解直角三角形和三角函數模型的應用等知識，屬于中檔題．