Question

（理）已知不等式a≤

3

4

x²-3x+4≤b的解集為[a，b]，則b=

 

，且a+b的值為

 

．

Answer 1

分析：畫出函數(shù)f（x）=

3

4

x2-3x+4=

3

4

(x-2)2+1的圖象，可知f（x）_min=1．分類討論：若a＞1，則不等式a≤

3

4

x²-3x+4≤b的解集分為兩段區(qū)域，不符合題意，應舍去．故a≤1＜b．再利用f（a）=f（b）=b，解得a，b即可．

解答：解：畫出函數(shù)f（x）=

3

4

x2-3x+4=

3

4

(x-2)2+1的圖象，
可得f（x）_min=f（2）=1，
由圖象可知：若a＞1，則不等式a≤

3

4

x²-3x+4≤b的解集分兩段區(qū)域，不符合已知條件．
因此a≤1．此時a≤

3

4

x2-3x+4恒成立．
又∵不等式a≤

3

4

x²-3x+4≤b的解集為[a，b]，
∴a≤1＜b，f（a）=f（b）=b，可得

3 4 a2-3a+4=b 3 4 b2-3b+4=b

，
由

3

4

b2-3b+4=b，化為3b²-16b+16=0，解得b=

4

3

，或4．
當b=

4

3

時，由

3

4

a2-3a+4-

4

3

=0，解得a=

4

3

或

8

3

，不符合題意，應舍去．
∴b=4，此時a=0．
∴a+b=5．
故答案分別為：4，4．

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次不等式的解法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．