Question

為了減少交通事故，某市在不同路段對機動車時速有不同的限制．2011年6月9日，在限速為70km/h的某一路段上，流動測速車對經過該路段的100輛機動車進行測速，如圖是所測100輛機動車時速的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）估計這100輛機動車中，時速超過限定速度10%以上（包括10%）的機動車輛數；
（Ⅱ）該市對機動車超速的處罰規定如下：時速超過限定速度10%以內的不罰款；超過限定速度10%（包括10%）以上不足20%的處100元罰款；超過限定速度20%（包括20%）以上不足50%的處200元罰款；…．設這一路段中任意一輛機動車被處罰款金額為X（單位：元），求X的分布列和數學期望．（以被測的100輛機動車時速落入各組的頻率作為該路段中任意一輛機動車時速落入相應組的概率）

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出時速超過限定速度10%的時速，根據頻率分布直方圖得，分別計算時速在[77，80）、[80，90）、[90，100）中的車輛數，即可得到結論；
（Ⅱ）由題意，超過限定速度20%的時速為70×（1+20%）=84（km/h），超過限定速度50%的時速為70×（1+50%）=105（km/h），從而X的可能取值為0，100，200，求出相應的概率，可得X的分布列與數學期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，時速超過限定速度10%的時速為70×（1+10%）=77（km/h）
由頻率分布直方圖得，時速在[77，80）中的車輛數為0.020×10×100×

3

10

=6；
時速在[80，90）中的車輛數為0.004×10×100=4；
時速在[90，100）中的車輛數為0.002×10×100=2
∴估計這100輛機動車中，時速超過限定速度10%以上（包括10%）的機動車輛數6+4+2=12；
（Ⅱ）由題意，超過限定速度20%的時速為70×（1+20%）=84（km/h）
超過限定速度50%的時速為70×（1+50%）=105（km/h）
因此，X的可能取值為0，100，200
P（X=0）=1-0.02-0.04-0.20×0.3=0.88
P（X=100）=0.2×0.3+0.04×0.4=0.076
P（X=200）=0.04×0.6+0.02=0.044
所以X的分布列為

X	0	100	200
P	0.88	0.076	0.044

X的數學期望為EX=100×0.076+200×0.044=16.4

點評：本題考查頻率分布直方圖，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，解題的關鍵是讀懂圖形，理解題意．