Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），c=

a2-b2

，圓（x-c）²+y²=c²與橢圓恰有兩個公共點，則橢圓的離心率e的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意，算出圓（x-c）²+y=c²的圓心為橢圓的右焦點且半徑r=c．再根據圓與橢圓有兩個公共點，得到橢圓的右頂點在圓的內部，由此建立關于a、c的不等式，解之可得橢圓的離心率．

解答：解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1中，c=

a2-b2

，
∴橢圓的焦點為F₁（-c，0）和F₂（c，0）．
由此可得圓（x-c）²+y=c²的圓心為F₂（c，0），半徑r=c．
∵圓（x-c）²+y=c²與橢圓恰有兩個公共點，
∴橢圓的右頂點（a，0）在圓的內部，
可得（a-c）²+0²=c²，解之得a＜2c，
因此橢圓的離心率e=

c

a

＞

1

2

，結合e∈（0，1），可得

1

2

＜e＜1．
故答案為：

1

2

＜e＜1

點評：本題給出以橢圓的右焦點為圓心且半徑等于半焦距的圓，在該圓與橢圓有兩個公共點的情況下，求橢圓的離心的范圍．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、點與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．