Question

已知數列{a_n}滿足

an+1+an-3

an+1-an+3

=n，且a₂=10，
（1）求a₁、a₃、a₄；
（2）猜想數列{a_n}的通項公式a_n，并用數學歸納法證明；
（3）是否存在常數c，使數列{

an

n+c

}成等差數列？若存在，請求出c的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：第1問比較容易只要給n依次取1，2，3即可．第2問根據第1問寫出的前四項猜出一個符合的通項公式，然后利用數學歸納法進行證明．第3問先假定存在c使這個數列為等差數列，然后根據前三項成等差求出c，再進行驗證c的每一個值是否使這個數列為等差數列．

解答：解：（1）∵a₂=10，將n=1代入已知等式得a₁=3，
同法可得a₃=21，a₄=36．
（2）∵a₁=3=1×3，a₂=10=2×5，a₃=3×7，a₄=4×9，
∴由此猜想a_n=n（2n+1）．
下面用數學歸納法證明．
①當n=1和2時猜想成立；
②假設當n=k（k≥2）時猜想成立，即a_k=k（2k+1），
那么，當n=k+1時，因為

ak+1+ak-3

ak+1-ak+3

=k，
所以ak+1=

3k+3-(k+1)ak

k-1

=

3(k+1)-(k+1)k(2k+1)

k-1

=（k+1）（2k+3）
這就是說當n=k+1時猜想也成立．因此a_n=n（2n+1）成立
（3）假設存在常數c使數列{

an

n+c

}成等差數列，
則有

a2

2+c

-

a1

1+c

=

a3

3+c

-

a2

2+c

把a₁=3，a₂=10，a₃=21代入得c=0或c=

1

2

．
當c=0時，數列{

an

n+c

}即為{2n+1}是公差為2的等差數列；
當c=

1

2

時，數列{

an

n+c

}即為{2n}是公差為2的等差數列．
∴存在常數c=0或c=

1

2

使數列{

an

n+c

}成等差數列．

點評：本題主要考查了數學歸納法證明，關鍵在于n=k+1時的運算要做到有的放矢．還考查了等差數列的定義．