Question

已知函數f（x）=|x|（x-4），x∈R．
（1）把函數f（x）寫成分段函數的形式；
（2）在給定的坐標系內作函數f（x）的圖象，并根據圖象寫出函數f（x）的單調區間；
（3）利用圖象回答：當實數k為何值時，方程|x|（x-4）=k有一解？有兩解？有三解？

Answer 1

分析：（1）要根據絕對值的定義，利用零點分段法，分當x＜0時和當x≥0時兩種情況，化簡函數的解析式，最后可將函數y=|x|（x-4）寫出分段函數的形式；
（2）根據分段函數圖象分段畫的原則，結合二次函數的圖象和性質，可作出圖象，結合圖象可得函數的單調區間；
（3）根據（2）中函數的圖象，結合函數的極大值為0，極小值為-4，可得方程|x|•（x-4）=k有一解，有兩解和有三解時k的取值范圍．

解答：解：（1）當x＜0時，y=|x|（x-4）=-x（x-4），
當x≥0時，y=|x|（x-4）=x（x-4），
綜上所述：y=

-x(x-4)，x＜0  x(x-4)，x≥0

；
（2）根據分段函數圖象的作法，其函數圖象如圖所示：
函數f（x）的單調增區間為（-∞，0），（2，+∞），減區間為（0，2）；
（3）由（2）中函數的圖象可得：
當k＜-4或k＞0時，方程|x|•（x-4）=k有一解，
當k=-4或k=0時，方程|x|•（x-4）=k有兩解，
當-4＜k＜0時，方程|x|•（x-4）=k有三解．

點評：本題考查的知識點是分段函數的解析式及其圖象的作法，函數的零點，難度不大，屬于基礎題．