Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，焦距為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓右焦點且垂直于x軸的直線交橢圓于P，Q兩點，C，D為橢圓上位于直線PQ異側的兩個動點，滿足∠CPQ=∠DPQ，求證：直線CD的斜率為定值，并求出此定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓C的方程，利用離心率為

2

2

，焦距為2，求出幾何量，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）設直線方程代入橢圓方程，確定x₁+x₂，x₁-x₂，即可求得斜率．

解答：解：（Ⅰ）由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，焦距為2，a²=b²+c²，
得c=1，a=

2

，b2=(

2

)2-1=1
所以，橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），∠CPQ=∠DPQ時，PC，PD的斜率之和為0
設直線PC的斜率為k，則PD的斜率為-k，
由題意知，直線PQ為x=1，不妨令P（1，

2

2

），Q（1，-

2

2

）
則PC的直線方程為y-

2

2

=k（x-1）代入橢圓方程，
可得（1+2k²）x²+2（

2

-2k）kx+（2k²-2

2

k+1）=0
∴x1+1=

2(2k- 2 )k

1+2k2

，
同理PD的直線方程為y-

2

2

=-k（x-1）代入橢圓方程，可得x2+1=

2(2k+ 2 )k

1+2k2

∴x₁+x₂=

8k2

1+2k2

-2=

4k2-2

1+2k2

，x₁-x₂=

-4 2 k

1+2k2

∴k_CD=

y1-y2

x1-x2

=

k(x1+x2)-2k

x1-x2

=

(4k2-2)k-2k(1+2k2)

-4 2 k

=

2

2

，
∴直線CD的斜率為定值

2

2

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．