Question

已知兩圓和圓
（1）求證：兩圓相交．
（2）求過點（-2，3），且過兩圓交點的圓的方程．

Answer 1

解：（1）證明：∵圓，即（x+2）²+（y-2）²=4，表示以C₁（-2，2）為圓心、半徑等于2的圓．
圓，即 （x+1）²+y²=1，表示以C₂（-1，0）為圓心、半徑等于1的圓．
兩圓的圓心距C₁C₂==，大于兩圓的半徑之差而小于兩圓的半徑之和，故兩圓相交．
（2）設過兩圓交點的圓的方程為 x²+y²+4x-4y+4+λ（x²+y²+2x）=0，
把點（-2，3）代入求得λ=，故所求的圓的方程為 x²+y²+4x-4y+4+（x²+y²+2x）=0，
即 ．
分析：（1）把兩圓的方程化為標準形式，求出圓心和半徑，再求出兩圓的圓心距，根據兩圓的圓心距C₁C₂ 大于兩圓的半徑之差而小于兩圓的半徑之和，證得兩圓相交．
（2）設過兩圓交點的圓的方程為 x²+y²+4x-4y+4+λ（x²+y²+2x）=0，把點（-2，3）代入求得λ=，可得所求的圓的方程．
點評：本題主要考查兩圓的位置關系的判斷方法，用待定系數法求圓的方程，屬于中檔題．