Question

如圖，已知橢圓的長軸為AB，過點(diǎn)B的直線l與x軸垂直．直線（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0（k∈R）所經(jīng)過的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓的離心率．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ，連接AQ延長交直線l于點(diǎn)M，N為MB的中點(diǎn)．試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）將直線方程整理得，解方程組求得直線所經(jīng)過的定點(diǎn)，進(jìn)而求得b，進(jìn)而根據(jù)離心率求得a，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)P（x，y）代入橢圓方程，進(jìn)而表示出Q的坐標(biāo)，求得|OQ|推斷出Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上．根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)表示出直線AQ的方程，令x=0，表示出M和N的坐標(biāo)，代入求得結(jié)果為0，進(jìn)而可推知OQ⊥QN，推斷出直線QN與圓O相切．
解答：解：（1）將（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0
整理得（-x-2y+2）k+2x-y+1=0
解方程組
得直線所經(jīng)過的定點(diǎn)（0，1），所以b=1．
由離心率得a=2．
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)P（x，y），則．
∵HP=PQ，∴Q（x，2y）．∴
∴Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上．
即Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上．
又A（-2，0），
∴直線AQ的方程為．
令x=2，得．又B（2，0），N為MB的中點(diǎn)，
∴．
∴，．
∴
=x（x-2）+x（2-x）=0．
∴．∴直線QN與圓O相切．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了考生綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力．