Question

如圖，設矩形ABCD（AB＞AD）的周長為4，把它關于AC折起來，AB折過去后，交DC與點P．設AB=x，求△ADP的最大面積及相應的x的值．

Answer 1

分析：由已知中矩形ABCD（AB＞AD）的周長為4，AB=x，我們可以可得AD=2-x，進而設出PC=a，則DP=x-a，由勾股定理，我們可以得到△ADP的面積的表達式，進而由基本不等式我們易求出△ADP的最大面積及相應的x的值．

解答：（本小題滿分12分）
解：如圖，因為AB=x，所以AD=2-x．…（2分）
設PC=a，則DP=x-a．
由勾股定理，得（2-x）²+（x-a）²=a²．…（4分）
可得a=

x2-2x+2

x

．DP=x-a=

2x-2

x

．…（6分）
所以△ADP的面積S=

1

2

(2-x)

2x-2

x

=

-x2+3x-2

x

=-(x+

2

x

)+3．…（8分）
∵x＞0，x+

2

x

≥2

x• 2 x

=2

2

．…（10分）
∴S=-(x+

2

x

)+3≤3-2

2

．
當且僅當x=

2

x

時，即當x=

2

時取“=”號．
答：當x=

2

時，△ADP的最大面積為3-2

2

．…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，基本不等式的應用，其中根據已知條件求出△ADP的面積的表達式，將問題轉化為利用基本不等式求最值問題，是解答本題的關鍵．