Question

已知f（x）=x³-

9

2

x2+6x-abc，a＜b＜c，f（a）=f（b）=f（c）=0，以下結論：
①f（0）f（1）＞0；
②f（0）f（1）＜0；
③f（0）f（2）＞0；
④f（0）f（2）＜0．
其中正確結論的序號為：

②③

．

Answer 1

分析：先求導數，確定函數的極值點，由a＜b＜c，f（a）=f（b）=f（c）=0，確定極值點和a，b，c的對應關系，然后判斷符號．

解答：解：函數的導數為f'（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2）．
當1＜x＜2時，f'（x）＜0；當x＜1，或x＞2時，f'（x）＞0
所以f（x）的單調遞增區間為（-∞，1）和（2，+∞），單調遞減區間為（1，2），即函數在x=1處取得極大值f（1）=1-

9

2

+6-abc=

5

2

-abc，
函數在x=2處取得極小值f（2）=8-

9

2

×4+6×2-abc=2-abc．
要使f（x）=0有三個解a、b、c，那么結合函數f（x）草圖可知：a＜1＜b＜2＜c，
且及函數有個零點x=b在1～2之間，所以f（1）=

5

2

-abc＞0，且f（2）=2-abc＜0
所以2＜abc＜

5

2

．
又f（0）=-abc＜0，所以f（0）f（1）＜0，f（0）f（2）＞0．
即②③正確．
故答案為：②③．

點評：本題考查函數的零點、極值點，解不等式，綜合性強，利用數形結合可以使本題直觀．