Question

【題目】如圖，湖中有一個(gè)半徑為千米的圓形小島，岸邊點(diǎn)與小島圓心相距千米，為方便游人到小島觀光，從點(diǎn)向小島建三段棧道，，，湖面上的點(diǎn)在線段上，且，均與圓相切，切點(diǎn)分別為，，其中棧道，，和小島在同一個(gè)平面上.沿圓的優(yōu)弧（圓上實(shí)線部分）上再修建棧道.記為.

用表示棧道的總長(zhǎng)度，并確定的取值范圍；

求當(dāng)為何值時(shí)，棧道總長(zhǎng)度最短.

Answer 1

【答案】，；當(dāng)時(shí)，棧道總長(zhǎng)度最短.

【解析】

連，，由切線長(zhǎng)定理知：，，，，即，，

則，，進(jìn)而確定的取值范圍；

根據(jù)求導(dǎo)得，利用增減性算出，進(jìn)而求得取值.

解：連，，由切線長(zhǎng)定理知：，，

，又，，故，

則劣弧的長(zhǎng)為，因此，優(yōu)弧的長(zhǎng)為，

又，故，，即，，

所以，，，則；

，，其中，，

	-	0	+
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

故時(shí)，

所以當(dāng)時(shí)，棧道總長(zhǎng)度最短.