Question

已知函數f(x)=cosx(sinx-

3

cosx)，則（　　）

• A．函數f（x）的周期為2π
• B．函數f（x）在區間[-

  π

  6

  ，

  π

  6

  ]上單調遞增
• C．函數f（x）的圖象關于直線x=-

  π

  12

  對稱
• D．函數f（x）的圖象關于點(

  π

  6

  ，0)對稱

Answer 1

分析：將函數解析式去括號后，利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式求出函數的周期，即可對于選項A作出判斷；由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質得出函數的單調性，即可對于選項B作出判斷；由正弦函數的對稱軸為kπ+

π

2

，k∈Z，即可對于選項C作出判斷；由正弦函數的對稱中心為kπ，k∈Z，即可對于選項D作出判斷．

解答：解：f（x）=cosxsinx-

3

cos²x=

1

2

sin2x-

3

2

（cos2x+1）=sin（2x-

π

3

）-

3

2

，
∵ω=2，∴T=π，故選項A錯誤；
∵x∈[-

π

6

，

π

6

]，∴2x-

π

3

∈[-

2π

3

，0]，
當2x+

π

3

∈[-

2π

3

，-

π

2

]時，f（x）單調遞減；當2x+

π

3

∈[-

π

2

，0]時，f（x）單調遞增，
故選項B錯誤；
令2x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，解得：x=

1

2

kπ+

5π

12

，k∈Z，
當k=-1時，x=-

π

12

，即函數f（x）的圖象關于直線x=-

π

12

對稱，故選項C正確；
令2x-

π

3

=kπ，k∈Z，解得：x=

1

2

kπ+

π

6

，k∈Z，
∴當k=0時，x=

π

6

，可得函數圖象關于（

π

6

，-

3

2

）對稱，故選項D錯誤，
故選C

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，正弦函數的單調性，以及正弦函數的對稱性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．