Question

在直角梯形P₁DCB中,P₁D∥CB,CD⊥P₁D,且P₁D=6,BC=3,DC=6,A是P₁D的中點(diǎn),沿AB把平面P₁AB折起到平面PAB的位置,使二面角P-CD-B成45°角.設(shè)E、F分別是線段AB、PD的中點(diǎn).

(1)求證:AF∥平面PEC;

(2)求PC與底面所成角的正弦值.

Answer 1

思路解析:本題有兩種解法、一是常規(guī)方法;二是利用空間向量求解.

解法一:(1)證明:設(shè)PC中點(diǎn)為G、連結(jié)FG.

∵FG∥CD∥AE,

且GF=CD=AE,∴AEGF是平行四邊形.

∴AF∥EG,EG平面PEC.

∴AF∥平面PEC.

(2)連結(jié)AC.

∵BA⊥AD,BA⊥AP₁,,

∴BA⊥AD,BA⊥AP.

∴BA⊥平面PAD.                             ①

又CD∥BA,

∴CD⊥PD,CD⊥AD.

∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角,

∴∠PDA=45°.

又PA=AD=3,

∴△PAD是等腰直角三角形.

∴PA⊥AD.                                       ②

由①②,∴PA⊥平面ABCD.

∴AC是PC在底面上的射影.

∵PA=3,AC=

∴PC=

則sin∠PCA=

∴PC與底面所成角的正弦值為.

解法二:(1)證明:設(shè)線段PC的中點(diǎn)為G,連結(jié)EG.

∵

∴AF∥EG.又EG平面PEC,AF平面PEC,

∴AF∥平面PEC.

(2)∵BA⊥P₁D,∴BA⊥平面PAD.                                                        ①

又CD∥BA、∴CD⊥PD,CD⊥AD.

∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角,∠PDA=45°.

又PA=AD=3,∴△PAD是等腰直角三角形.

∴PA⊥AD.                                                                                 ②

由①②,∴PA⊥平面ABCD.

設(shè)PA與PC所成的角為θ(0＜θ≤),

則PC與平面ABCD所成的角為-θ.

∵

又知兩兩互相垂直,且

故知PC與底面所成角的正弦值為.